Diagrammes d'Euler : Introduction, Comparaison et Création

Qu'est-ce qu'un diagramme d'Euler

Le diagramme d'Euler est la représentation de la théorie des ensembles. Il illustre visuellement les relations entre ensembles issues de la vie réelle. La plupart des gens le confondent avec le diagramme de Venn en raison de leur ressemblance. Comme les diagrammes de Venn, les diagrammes eulériens utilisent des cercles pour illustrer l'interaction logique entre les éléments.

Bien que les deux diagrammes fassent partie de la théorie des ensembles, le diagramme d'Euler ne montre qu'une partie de la relation. Cette relation n'est applicable que dans des scénarios pratiques. Cependant, le diagramme de Venn est applicable à toutes les interactions pratiques et théoriques possibles entre ensembles.

Par exemple, prenons deux catégories : un sur-ensemble de mammifères et un sous-ensemble d'oiseaux. Un diagramme de Venn montrera l'intersection entre les deux ensembles, même si la zone ombrée est vide. En revanche, le diagramme d'Euler n'aura que deux cercles séparés pour les mammifères et les oiseaux. C'est parce qu'ils ne se croisent pas.

Les diagrammes de Venn de base permettent de visualiser la théorie des ensembles, ce qui les rend adaptés à l'éducation. Cependant, les diagrammes d'Euler sont flexibles et comportent des éléments structurels supplémentaires tels que des points, des graphiques et des étiquettes écrites. Par conséquent, les diagrammes d'Euler sont surtout connus pour représenter les hiérarchies, prendre des décisions et analyser des perspectives.

Histoire du diagramme d'Euler

Les cercles eulériens ont été introduits pour la première fois par le mathématicien suisse Leonhard Euler au XVIIIe siècle. Il a utilisé ces diagrammes pour représenter les relations logiques entre deux catégories. Par la suite, les diagrammes de Venn ont été reconnus au XIXe siècle.

Dans les années 1960, les éducateurs ont utilisé ces deux diagrammes pour développer une compréhension de la théorie des ensembles. Plus tard, John Venn, Peirce et Leibniz ont contribué au développement des diagrammes d'Euler. Aujourd'hui, vous pouvez les appliquer à des hiérarchies complexes de la vie réelle.

Un cercle eulérien typique sépare les catégories enfermées par une courbe ou un cercle. Chaque courbe a deux zones, également appelées régions, à l'intérieur et à l'extérieur. La région intérieure illustre les éléments de l'ensemble, tandis que la région extérieure ne fait pas partie de l'ensemble. Cet arrangement entier représentant l'intersection des ensembles est appelé diagramme eulérien.

Contrairement au diagramme de Venn, les ensembles non chevauchants ne sont pas représentés par des espaces vides ombrés. Au lieu de cela, il sépare complètement les deux cercles et représente les ensembles disjoints.

Exemple de diagramme d'Euler

Maintenant que nous avons établi le concept de diagramme d'Euler, poursuivons et voyons quelques exemples de diagrammes d'Euler.

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Exemple de diagramme d'Euler

Une phrase résumant ce diagramme d'Euler est simple :« Tous les panneaux routiers sont des objets stationnaires ; Les voitures ne sont pas stationnaires. »

Nous pouvons faire les hypothèses suivantes à partir de cette structure hiérarchique entre les deux catégories.

• Tous les panneaux routiers sont des objets stationnaires. Vous pouvez le voir à travers le sous-ensemble de panneaux routiers présent à l'intérieur du sur-ensemble d'objets stationnaires. C'est une visualisation du chevauchement dans les diagrammes d'Euler.
• Les voitures ne sont pas des objets stationnaires. Ici, le sous-ensemble de voitures se trouve à l'extérieur du sur-ensemble contenant les objets stationnaires. C'est un exemple d'ensembles non chevauchants ou disjoints sans espaces vides ombrés.
• Aucun panneau routier n'est une voiture, ce qui signifie que ces deux catégories ne sont pas liées. Par conséquent, elles sont dans des cercles séparés différents.

Cet exemple illustre une relation entre les objets stationnaires et les véhicules en mouvement sur la route. Il peut aider à comprendre le trafic et l'éthique routière pour quiconque prévoit de conduire. De plus, les éducateurs peuvent utiliser cet exemple pour informer la classe du vocabulaire routier.

Différence entre le diagramme d'Euler et le diagramme de Venn

Appartenant à la théorie des ensembles, les diagrammes d'Euler et de Venn utilisent des perspectives différentes pour définir les relations logiques. Le diagramme de Venn a une zone ombrée vide qui se chevauche, tandis que les diagrammes d'Euler n'ont pas une telle zone, ce qui les rend plus flexibles et avancés.

Diagramme de Venn vs diagrammes d'Euler

Bien que leurs formes soient similaires, les deux sont complètement différents. Voici quelques-unes de leurs principales différences.

Chevauchement

• Diagramme de Venn - utilise une région partagée ombrée.
• Diagramme d'Euler - utilise des formes qui se chevauchent et imbriquées ; il peut ne pas avoir de région partagée en cas d'absence de chevauchement.

Complétude

• Diagramme de Venn - montre toutes les relations logiques entre ensembles (peut être théorique).
• Diagramme d'Euler - ne montre que les relations possibles entre ensembles (existant dans la vie réelle).

Complexité

• Diagrammes de Venn - sont difficiles à lire et à comprendre, surtout lorsqu'il y a plus de trois catégories.
• Diagrammes d'Euler - sont compréhensibles. Ainsi, ils conviennent pour interpréter des structures de classes et des interactions complexes.

Expression

• Diagrammes de Venn - ont quelques relations d'ensembles, y compris l'union, la différence et l'intersection.
• Diagramme d'Euler - offre une illustration de dépendances plus larges entre ensembles. Par conséquent, ils sont excellents pour montrer des hiérarchies compliquées.

Exemples de diagrammes d'Euler et de Venn

Rien ne dissipe mieux la confusion qu'un exemple. Voici des exemples de diagrammes de Venn et d'Euler pour dissiper la confusion :

Ce diagramme de Venn illustre la relation entre la malbouffe et les plantes. Il y a un chevauchement de certains éléments, suggérant que les deux appartiennent à la catégorie des aliments comestibles. Cependant, il illustre également que toutes les plantes ne sont pas comestibles.

Maintenant, regardons la même relation mais dans un arrangement d'Euler. L'énoncé en une ligne pour cet exemple serait :« Toute la malbouffe et certaines plantes sont des aliments comestibles. »

Voici les hypothèses suivantes à partir de cet exemple.

• « Toute la malbouffe est de la nourriture comestible ». C'est parce que la nourriture comestible est un sur-ensemble, et la malbouffe est un sous-ensemble. Le cercle de la malbouffe est dans la nourriture comestible, montrant une forte relation de chevauchement entre les deux catégories.
• « Certaines plantes sont de la nourriture comestible ». C'est parce qu'un sous-ensemble composé de plantes chevauche partiellement la nourriture comestible. Cela suggère que seules certaines plantes sont bonnes à manger.
• « Aucune malbouffe n'est une plante », car la malbouffe et les plantes ont des sur-ensembles ou cercles séparés dans le diagramme. Ces deux catégories illustrent une disjonction dans cet exemple.

Comment créer un diagramme d'Euler

Malgré la ressemblance étroite avec le diagramme de Venn, les diagrammes d'Euler utilisent un arrangement différent. Ainsi, leur processus de création est un peu différent. Voici un guide étape par étape sur la façon de créer un diagramme d'Euler à partir de zéro.

Avant de commencer, il est toujours préférable de noter les données sur papier. Suivons le processus en utilisant l'exemple suivant.

• Énoncé 1 : Tous les chanteurs sont des gens cool.
• Énoncé 2 : Certaines personnes âgées sont des chanteurs.
• Énoncé 3 : Certaines personnes âgées sont des gens cool.

Prenez votre temps pour écrire ces énoncés, car ils guideront le processus de dessin ultérieur. Manquer l'un de ces énoncés peut perturber l'ensemble du processus de création du diagramme.

Étape 1 : Dessinez trois catégories

Allez sur un canevas en ligne ou prenez une feuille de papier et dessinez trois cercles. Quel que soit votre choix, assurez-vous qu'il soit effaçable afin de pouvoir ajouter et supprimer des formes à chaque étape. Maintenant, étiquetez chaque cercle avec la catégorie requise. Ici, les cercles seront les chanteurs, les gars et les gens cool. Faites chevaucher ces trois cercles.

Étape 2 : Déplacez les cercles pour correspondre au premier énoncé

Après cela, revenez à la première étape et vérifiez les données écrites. Lisez le premier énoncé et déplacez les cercles correspondants. Ici, le premier énoncé est que« tous les chanteurs sont des gens cool. »Donc, transformez le cercle des gens cool en un sur-ensemble et placez un sous-ensemble composé de chanteurs dans le premier cercle.

Étape 3 : Déplacez les cercles pour correspondre au deuxième énoncé

Maintenant, avancez et lisez le deuxième énoncé,« Certaines personnes âgées sont des chanteurs. »Donc, déplacez le deuxième sous-ensemble contenant les personnes âgées et faites-le chevaucher avec le sous-ensemble contenant les chanteurs.

Étape 4 : Déplacez les cercles pour correspondre au troisième énoncé

Enfin, revenez au dernier énoncé,« Certaines personnes âgées sont des gens cool. »Cela signifie que le sous-ensemble contenant les personnes âgées doit être présent dans un sur-ensemble contenant les chanteurs. Donc, vérifiez l'arrangement et ajustez les cercles. Félicitations, votre diagramme d'Euler est prêt.

Conclusion

Les diagrammes eulériens sont excellents pour visualiser différentes perspectives et représenter des hiérarchies complexes. Ces diagrammes utilisent des cercles et des courbes fermées pour représenter les interactions entre ensembles.

La ressemblance troublante des diagrammes d'Euler et de Venn confond la plupart des gens. Mais ne vous inquiétez pas si vous en faites partie. Malgré leurs similitudes,les diagrammes d'Euleront des éléments structurels extravagants et des arrangements flexibles. C'est pourquoi ils sont précis pour les situations de la vie réelle.

Donc, tout ce que vous devez faire est de suivre ces différences. Consultez ce guide pour les différencier des diagrammes de Venn et identifier leur champ d'application.